Mikroøkonomi - 0.3 Matematiske regneregler

 

Denne side er et slags brush-up kursus i matematik, som er altafgørende for at blive god til at regne opgaver i mikroøkonomi.

 

Vi anbefaler derfor kraftigt at træne regnereglerne på denne side, inden du forsætter med andre opskrifter!

Led og faktorer
 

Led adskilles af plus eller minus!

 

Faktorer adskilles af gangetegn!

 

Bemærk at tal generelt altid hører sammen med det fortegn, der står foran dem.

 

Her er et par eksempler:

 

a) Regnestykket 34+78-340 består af tre led: 34, 78 og -340

 

b) Regnestykket 2∙(-10)∙1200 består af tre faktorer: 2, -10 og 1200. Faktorerne udgør til sammen ét led

c) Regnestykket 2y+3-4x består af tre led og fire faktorer. De tre led er 2y, 3 og -4x. De fire faktorer er 2, y, 4, og x. Der kan altså godt indgå flere faktorer i ét led!

 

d) Regnestykket (2+x)∙34∙(-10) består af tre faktorer og to led. De tre faktorer er (2+x), 34 og -10. Den ene faktor består af de to led: 2 og x. Der kan altså godt indgå flere led i en faktor!

 

e) Det kan blive en smule mere uoverskueligt, når der indgår brøker, men reglerne er de samme. Betragt nedenstående brøk:

Foroven, i tælleren, er der to led og fire faktorer. De to led er 2X og 3∙2.

 

Forneden, i nævneren, er der ét led og tre faktorer. De tre faktorer er 2, x og y i anden. De tre faktorer udgør tilsammen ét led.

 
Rækkefølgen på led og faktorer
 

Husk at rækkefølgen mellem flere faktorer er ligegyldig, da de i sidste ende alle bliver ganget på hinanden. F.eks. er 2∙X∙Y  det samme som Y∙2∙X  som igen er det samme som 2∙Y∙X. Et par andre eksempler:

Faktorer der er tal kan yderligere ganges sammen. F.eks. er 2∙4∙X∙2 det samme som 16∙X. Du kan altså blot gange 2 med 4, som giver 8, og gange 8 med 2 som er 16. Dette gælder også, hvis flere faktorer er den samme variabel. I dette eksempel ganger vi x’erne sammen:

Husk også at rækkefølgen på flere led er ligegyldig. Her er det igen vigtigt at fortegnet følger med leddet! Et par eksempler:

Bemærk at når et positivt led står forrest, er plustegnet usynligt.

 

Led som er tal kan lægges sammen, ligesom led der består af den samme variabel kan lægges sammen. Her er et par eksempler:

Ligningsløsning
 

Ligningsløsning bruges ofte til at isolere eller beregne en variabel samt til at rykke rundt på funktioner. F.eks. skal vi tit isolere P i en efterspørgselsfunktion for at kunne illustrere den eller P i en elasticitetsformel for at beregne prisen.

 

Når du løser en ligning, skal du altid gøre det samme på begge sider af lighedstegnet, ellers er de to sider ikke længere lig hinanden.

 

For at ”flytte” et tal eller et led over på den anden side af lighedstegnet, bliver vi nødt til at udligne det. Der er tre modsætningspar, som er de mest brugte i mikroøkonomi:

 

  • plus og minus udligner hinanden

  • gange og dividere udligner hinanden

  • kvadratrod og anden potens udligner hinanden

 

Her er regneeksempler med hver. Bemærk at der hvor tegnene eller tallene udligner hinanden, er de gennemstregede:'

 

a) Vi plusser på begge sider for at udligne minusset (her flytter vi -2y):

b) Vi trækker fra på begge sider for at udligne plusset (her flytter vi 3y):

c) Vi ganger på begge sider for at udligne divisionen (nævneren flyttes):

Bemærk at det er vigtigt at huske den ”usynlige” parentes, der er rundt om nævneren i en brøk!

 

d) Vi dividerer på begge sider for at udligne gangetegnet (her adskilles 2 fra y):

e) Vi opløfter begge sider i anden for at udligne kvadratroden

f) Vi tager kvadratroden af begge sider for at udligne  en 2. potens:

I praksis, og når du er blevet skarp til at løse ligninger, behøver du ikke skrive ændringerne på den side, som du ”flytter” tallet eller bogstavet fra, dvs. den side hvor ”udligningen” sker. Vender vi tilbage til regneeksemplerne ovenfor, vil vi skrive dem noget enklere og hurtigere således:

 

a) Hvis tallet eller udtrykket er trukket fra, plusser vi det på den anden side:

b) Hvis tallet eller udtrykket er plusset på, trækker vi det fra på den anden side:

c) Hvis tallet eller udtrykket er divideret på, ganger vi det over på den anden side:

d) Hvis tallet eller udtrykket er ganget på, dividerer vi det over på den anden side:

e) Hvis tallet eller udtrykket er i kvadratrod, opløfter vi den anden side i 2. potens:

f) Hvis tallet eller udtrykket er i anden, tager vi kvadratroden af hele den anden side:

Til sidst kommer en lille generel bonus info; Du må selvfølgelig altid gerne vende ligningen om, dvs. bytte rundt på siderne således at venstresiden rykker over på højresiden og omvendt. I nedenstående eksempel kan det være rart at have y på venstre side, da det normalt er sådan man ser det i en ligning:

Rette linjer
 

En ret linje har generelt følgende form: y=ax+b.

 

Konstanten a er hældningen på funktionen, mens konstanten b er skæringen med y-aksen.

Formlen kan dog sagtens have andre bogstaver, ligesom der kan være byttet rundt på rækkefølgen af leddene, f.eks. y=a+bx.

 

I mikroøkonomi er det ofte efterspørgsels- eller udbudsfunktioner: f.eks. P=3+2Q. Formen er den samme, selvom bogstaverne kan variere. Pointen er, at den variabel der er isoleret, svarer til den variabel, der er sat op ad y-aksen (her P). Det tal der er ganget på den anden variabel er hældningen (her +2), mens den konstant der står alene er skæring med y-aksen (her 3). Hvis der ikke er nogen konstant, som står alene, er det fordi funktionen skærer y-aksen i nul. Funktionen ville da se sådan ud: P=2Q

 

Nedenfor er illustreret de to funktioner:

Du kan i øvrigt altid finde skæringspunkter med akserne ved at sætte den modsatte akses værdi til nul. Dvs. for at finde skæring med y-aksen sættes x til nul, og for at finde skæring med x-aksen sættes y til nul.

 

Hvis vi f.eks. tager P=3+2Q:

 

Skæring med y-aksen kan beregnes ved at sætte Q til nul:

Skæring med x-aksen kan beregnes ved at sætte P til nul

Dvs. funktionen skærer y-aksen i 3, som vi også aflæste af funktionen, og x-aksen i -1,5.  Normalt skal vi ikke finde skæring med x-aksen for udbudsfunktioner, men efterspørgselsfunktioner er negativt hældende, og derfor kan vi let tegne dem ved at finde skæringspunkterne med begge akser og forbinde dem.

 

Andengradsligninger

 

Du kan kende en andengradsligning på, at der er to af de samme variable, hvoraf den ene er opløftet i anden potens. I teorien har den denne form:

Du kan ikke løse en andengradsligning ved hjælp af almindelig ligningsløsning. Her skal du bruge formlen for diskriminanten:

Diskriminanten fortæller hvor mange løsninger der bliver:

Herefter kan løsningen(erne) beregnes ved hjælp af formlen:

I opgaver i mikroøkonomi står funktionen oftest på en anden måde end den klassiske andengradsligning nævnt i starten af afsnittet. Derfor anbefaler vi at du altid sørger for at funktionen matcher den klassiske funktion, da det så er nemmere at identificere a, b og c – dvs. du skal flytte alt over på den ene side, så der står nul tilbage på den anden. 

 

Lad os tage et eksempel:

 

Betragt funktionen:

Vi skal isolere Q, så først ganger vi Q ind i parentesen (det vil sige, at vi ganger Q med alle led i parentesen) og reducerer udtrykket så meget som muligt:

Vi kan nu se, at vi har med en andengradsligning at gøre, da den variable indgår i to led, hvoraf den i det ene er opløftet i anden. Dvs. at vi ikke kan løse den på normal vis. Vi skal bruge diskriminanten.

 

For at overskueliggøre funktionen omskriver vi den, så den ligner den klassiske andengradsligning:

Vi skal altså have flyttet alle led over på den ene side, så der kun er nul tilbage på den anden:

Husk, som nævnt i afsnittet ”Rækkefølgen på led og faktorer”, at vi gerne må bytte rundt på leddene så længe fortegnet følger med. Husk også at vi gerne må vende ligningen om. Det gør vi her:

Vi kan nu nemmere identificere a, b og c.

 

a er det tal, som er ganget på variablen i anden – i dette tilfælde det ”usynlige” et-tal foran Q i anden

b er det tal, som er ganget på variablen i første  – i dette tilfælde 3

c er det tal, som står alene – i dette tilfælde -10 (læg mærke til at fortegnet følger med!)

 

Vi kan nu beregne diskriminanten ved at indsætte a (=1), b (=3) og c (=-10) i formlen for denne:

Da D er større end nul, er der to løsninger. Vi kan nu finde løsningerne ved at indsætte tallene i følgende formel:

Første løsning bliver:

Den anden løsning bliver:

Af disse to løsninger vil vi i mikroøkonomi kun bruge den positive. Det giver ikke mening at have en negativ mængde (Q), derfor bliver løsningen Q=2

 
 
 
 
 
Brøkregneregler
 

Når to brøker plusses med hinanden, lægger man tællerne sammen:

Når to brøker trækkes fra hinanden, trækker man tællerne fra hinanden:

Husk at brøkerne skal have samme nævner, når de lægges samme eller trækkes fra hinanden. Hvis de har forskellige tal i nævneren, skal du gange eller dividere en af eller begge brøker, med et tal der gør, at de får samme nævner. Husk at når du forkorter eller forlænger brøker, skal du dividere eller gange både nævneren og tælleren. Eksempel:

Når to brøker ganges med hinanden, ganger man tæller med tæller og nævner med nævner:

Når to brøker divideres med hinanden, kan du gange med den omvendte brøk (også kaldet gange på kryds og tværs):

En ting, der er nyttig at vide i forhold til løsning af opgaver i mikroøkonomi, er, at når man ganger en brøk med et tal (eller variabel), ganger man altid op i tælleren:

Det er nyttigt at vide, da det betyder, at du gerne må rykke en variabel (eller et tal)  i tælleren ”ned” fra brøken på enten højre eller venstre side. Konstanten der er ganget på bliver stående i tælleren, mens variablen er ganget på brøken. Her er to eksempler:

En anden nyttig ting at vide er at man kan dele en brøk op, så snart der er 2 eller flere led i tælleren. Tegnet mellem leddene i tælleren kommer til at stå mellem brøkerne. Nævneren er den samme i begge brøker. Her er et eksempel:

Disse to ting kan være brugbare, når vi f.eks. har en invers efterspørgsel, som er linæer, men udtrykket ligner ikke den klassiske funktion for en ret linje. Derfor kan det være svært at gennemskue, hvad der er hældning (a), og hvad der er skæring med y-aksen (b). Her er et eksempel:

 

Vi har en invers efterspørgsel:

Vi kan nu starte med at dele brøken op, da der er to led i tælleren:

Herefter kan vi rykke Q ned på højre side af brøken (bemærk at der står et usynligt et-tal foran Q, som bliver stående i tælleren):

Vi har nu omskrevet funktionen, så den ligner den klassiske funktion for en ret linje. Det gør det meget nemmere at tegne den, da vi nu kan se at 1/4 er hældningen, da den er ganget på Q, mens 1 er skæring med y-aksen.

 

Potensregneregler
 

Hvis det samme grundtal (a) ganges med sig selv, så kan man lægge potenserne sammen:

Hvis det samme grundtal (a) divideres med sig selv, så kan man trække potenserne fra hinanden. Det er altid nævnerens potens, som trækkes fra tællerens:

Så fremt at to tal ganget med hinanden har den samme potens (x), så kan de sammen ordnes i en parentes:

Hvis en potens er negativ, kan du dividere med tallet (eller variablen) i stedet for at gange med det, hvorved potensen skifter fortegn. Man kan sige at, vi rykker tallet ned under en brøkstreg:

Et eksempel (bemærk at der er ganget et usynligt ettal på a, som bliver stående i tælleren):

Lige meget hvilken potens man har opløftet i 0 bliver det til én:

Hvis vi har roden af et tal, kan man omskrive det til en potens på følgende måde:

Man vil oftest komme ud for en kvadratrod, som kan omskrives til en halv i potens:

Lad os runde af med et eksempel fra mikroøkonomiens verden, hvor det kan betale sig at kunne diverse regneregler:

Vi har beregnet MRS for en forbruger til følgende:

For at kunne regne videre med udtrykket, bliver vi nødt til at reducere brøken så meget som muligt. Prøv at læg mærke til hvilke regneregler vi bruger til dette:

Regneregler for differentiering
 

Til slut kommer vi til noget af det absolut vigtigste at kunne, når der skal løses opgaver i mikroøkonomi. Det er differentialregning.

 

Følgende tabel giver en oversigt over regnereglerne for differentiering, hvoraf de fire første er dem, vi anvender oftest. For en solid og grundig træning i differentialregning, så gennemgå opskrift 2.1 Marginalnytter og MRS samt opskrift 3.1 Marginalprodukter og MRTS.

Mikroøkonomi, differentiering, regneregler, differentialer

Bemærk at udtrykket for at differentiere kan være forskelligt:

 
 
 

MikroKogeBogen © - Mikroøkonomi - Matematiske regneregler

MKB

Mikroøkonomi trin for trin

© 2015 af MKB Undervisning IVS

CVR NR. 39061074

Frederiksberg, Danmark

Anvend Google Chrome som internet browser for optimal ydelse

  • Wix Facebook page