Mikroøkonomi - 2.1 Marginalnytter og MRS
Denne opskrift lærer dig, hvordan du finder marginalnytten for de to varer i en nyttefunktion.
Sørg for at du kender regnereglerne for differentiering!
Når man skal regne opgaver i forbrugerteori, kan det være en udfordring at finde MRS, fordi man her skal finde marginalnytterne ved at lave en partiel differentiering af nytte-funktionen. Efterfølgende kan man have en brøk, som
er svær at reducere rent matematisk.
Vi gennemgår en række forskellige eksempler.
Gennemgang inkl. regneeksempel
Eksempel 1:
Nyttefunktionen er givet ved:
Trin 1: Find marginalnytten for vare X ved at differentiere nyttefunktionen med hensyn til X som den variable, mens Y behandles som en konstant
Vi differentierer nyttefunktionen med hensyn til X. Bemærk at vi behandler Y som en konstant, dvs. at de regneregler der gælder for konstanter gælder for Y: Hvis den er ganget på den variable, bliver den stående, hvis den er plusset eller minusset på bliver den til 0. I dette tilfælde er Y ganget på X og derfor lader vi den stå. Vi lader den være som den er og skal heller ikke gøre noget ved potensen:
Trin 2: Find marginalnytten for vare Y ved at differentiere nyttefunktionen med hensyn til Y som den variable, mens X behandles som en konstant
Vi differentierer nu nyttefunktionen med hensyn til Y. Der er altså nu X, som skal behandles som en konstant:
Løsningen kort fortalt
Trin 1:
Find marginalnytten for vare X ved at differentiere nyttefunktionen med hensyn til X som den variable, mens Y behandles som en konstant
Trin 2:
Find marginalnytten for vare Y ved at differentiere nyttefunktionen med hensyn til Y som den variable, mens X behandles som en konstant
Trin 3:
Find MRS ved at dividere marginalnytten for X med marginalnytten for Y. Hvis nyttefunktionen er en Cobb-Douglas funktion, kan du bruge en bestemt formel
Trin 4:
Reducer udtrykket for MRS så meget som muligt
Trin 3: Find MRS ved at dividere marginalnytten for X med marginalnytten for Y. Hvis nyttefunktionen er en Cobb-Douglas funktion (link til formelsamlingen), kan du bruge en bestemt formel
Nytte funktionen er i dette tilfælde en Cobb-Douglas funktion. Vi kan genkende en Cobb-Douglas funktion når den har følgende struktur:
Bemærk at vi også reducerer konstanterne 4 over 8 til 1 over 2 ved at dividere begge tal med 4.
Eksempel 2:
Nyttefunktionen er givet ved:
Trin 1: Find marginalnytten for vare X ved at differentiere nyttefunktionen med hensyn til X som den variable, mens Y behandles som en konstant
Vi differentierer nyttefunktionen med hensyn til X. Bemærk at vi behandler Y som en konstant, dvs. at de regneregler der gælder for konstanter gælder for Y: Hvis den er ganget på den variable, bliver den stående, hvis den er plusset eller minusset på bliver den til 0. I dette tilfælde er Y plusset på X og derfor bliver den til 0, dvs. den forsvinder. X er den variable og har kun 1 i potens, derfor bliver den til et 1-tal. Da Y-leddet forsvinder og X bliver til 1, har vi egentlig kun 2 tilbage:
Trin 2: Find marginalnytten for vare Y ved at differentiere nyttefunktionen med hensyn til Y som den variable, mens X behandles som en konstant
Vi differentierer nu nyttefunktionen med hensyn til Y. Der er altså nu X, som skal behandles som en konstant:
Trin 3: Find MRS ved at dividere marginalnytten for X med marginalnytten for Y. Hvis nyttefunktionen er en Cobb-Douglas funktion (link til formelsamlingen), kan du bruge en bestemt formel
Nytte funktionen er i dette tilfælde ikke en Cobb-Douglas funktion. Vi kan derimod se at varerne er perfekte substitutter da X og Y er plusset på hinanden og begge blot har 1 i potens. Herved får vi rette linjer som indifferenskurver, og MRS skal derfor blive en konstant (husk at MRS er hældningen på indifferenskurven):
Trin 4: Reducer udtrykket for MRS så meget som muligt.
Her kan MRS ikke reduceres yderligere.
Eksempel 3:
Nyttefunktionen er givet ved:
Trin 1: Find marginalnytten for vare X ved at differentiere nyttefunktionen med hensyn til X som den variable, mens Y behandles som en konstant
Vi differentierer nyttefunktionen med hensyn til X. Bemærk at vi behandler Y som en konstant, dvs. at de regneregler der gælder for konstanter gælder for Y: Hvis den er ganget på den variable, bliver den stående, hvis den er plusset eller minusset på bliver den til 0. I dette tilfælde er Y plusset på X og derfor bliver den til 0, dvs. den forsvinder:
Trin 2: Find marginalnytten for vare Y ved at differentiere nyttefunktionen med hensyn til Y som den variable, mens X behandles som en konstant
Vi differentierer nu nyttefunktionen med hensyn til Y. Der er altså nu X, som skal behandles som en konstant. Da X er plusset på, bliver hele leddet til 0. Ln(Y) bliver til 1 over Y, når vi differentierer:
Trin 3: Find MRS ved at dividere marginalnytten for X med marginalnytten for Y. Hvis nyttefunktionen er en Cobb-Douglas funktion, kan du bruge en bestemt formel
Nytte funktionen er i dette tilfælde ikke en Cobb-Douglas funktion. Vi indsætter marginalnytterne i den normale formel:
Trin 4: Reducer udtrykket for MRS så meget som muligt.
Her bruger vi igen regnereglen:
Læg mærke til hvordan Y ”kravler” op over brøkstregerne som følge af ovenstående regel. Hver gang den kravler et trin op, skifter potensen fortegn:
Prøv selv med følgende nyttefunktioner:
Vær sikker på at du kan regnereglerne for differentiering:
a)
b)
d)
e)
hvor A, α og β er konstanter
Vores nyttefunktion matcher denne form:
Når nyttefunktionen er en Cobb-Douglas funktion kan man anvende følgende ligning for MRS:
Vi anvender denne formel og udregner MRS:
For træningens skyld, beregner vi også MRS ved hjælp af den normale formel:
Reduceres dette udtryk skulle det gerne blive det samme som ovenstående.
Trin 4: Reducer udtrykket for MRS så meget som muligt.
Når vi skal reducere brøken, skal vi bruge to potensregneregler. Den første siger, at hvis den samme variabel står i tælleren og i nævneren kan vi trække den nederste potens fra den øverste:
Den anden siger, at man i stedet for at gange med en variabel kan dividere med den (eller omvendt), på den betingelse at potensen skifter fortegn:
Vi anvender disse regler og reducerer MRS så meget som muligt:
c)
MikroKogeBogen © - Marginalnytter og MRS - Mikroøkonomi