Mikroøkonomi - 3.6 Skalaafkast - Returns to scale
Denne opskrift lærer dig, hvordan du bestemmer skalaafkast (på engelsk: Returns to scale) for en produktionsfunktion.
Skalaafkast bruges på langt sigt og besvarer spørgsmålet: ”Med hvor mange procent stiger output når begge input stiger med n%?”.
Vi har delt løsningen op i niveauer, da det er forskelligt, hvor udførlig en besvarelse eksaminator vil have. For de fleste vil niveau 1a være tilstrækkeligt mens niveau 2 kan bruges til de opgaver 1a ikke kan besvare.
Gennemgang inkl. regneeksempel
Hansens chokoladefabrik laver chokolade ved hjælp af arbejdskraft og kapital. Produktionsfunktionen kan beskrives således:
Spørgsmål a) Hvilken type skalaafkast udviser funktionen?
Niveau 1a: Hvis produktionsfunktionen er en Cobb-Douglas funktion, findes skalaafkast ved at lægge de to potenser (α og β) sammen:
Hvis α + β > 1 er der stigende skalaafkast
Hvis α + β = 1 er der konstant skalaafkast
Hvis α + β < 1 er der faldende skalaafkast
En Cobb-Douglas funktion har følgende form (se også Opskrift 0.2 Formelsamling under afsnit f) Produktionsteori):
Da produktionsfunktionen for Hansens Chokoladefabrik er en Cobb-Douglas funktion, kan vi lægge potenserne sammen: 0,5 + 0,5 = 1.
Da summen af potenserne er lig med 1, er der konstant skalaafkast. Ved de fleste opgaver er dette svar fyldestgørende.
Niveau 1b: Er det en Cobb-Douglas funktion men Niveau 1a ikke en tilstrækkelig løsning ifølge eksaminator (spørg inden eksamen), bruges potensregneregler for fremskrivning (se beskrivelse og afsnittet om potensregneregler i Opskrift 0.3 Matematiske regneregler)
Når skalaafkast beregnes, fremskrives begge input med samme faktor. Derfor kan vi bruge to regler om potenser:
Løsningen kort fortalt
Niveau 1a:
Hvis produktionsfunktionen er en Cobb-Douglas funktion, findes skalaafkast ved at lægge de to potenser (α og β) sammen:
Hvis α + β > 1 er der stigende skalaafkast
Hvis α + β = 1 er der konstant skalaafkast
Hvis α + β < 1 er der faldende skalaafkast
Niveau 1b:
Er det en Cobb-Douglas funktion men Niveau 1a ikke en tilstrækkelig løsning ifølge eksaminator (spørg inden eksamen), bruges potensregneregler for fremskrivning (se beskrivelse og afsnittet om potensregneregler i Opskrift 0.3 Matematiske regneregler)
Niveau 2:
Er det ikke en Cobb-Douglas funktion, indsæt da to vilkårlige tal på K & L’s plads og udregn Q. Prøv derefter med f.eks. dobbelt så store K & L og undersøg om Q vokser med samme faktor. (Virker også med Cobb-Douglas)
Hvis x vokser med n, vokser f(x) med o, og sammenhængen er:
Herudover anvender vi denne regneregel:
Disse to kombinerer vi til, at hvis begge inputs vokser med n, bliver
Når o (den faktor outputtet vokser med) og n (den faktor begge inputs vokser med) er lig med hinanden, er både inputs og output steget med samme faktor, og der er således konstant skalaafkast.
Bemærk at hvis produktionsfunktionen har stigende skalaafkast, vil o være større end n. Hvis produktionen har faldende skalaafkast vil o være mindre end n.
Niveau 2: Er det ikke en Cobb-Douglas funktion, indsæt da to vilkårlige tal på K & L’s plads og udregn Q. Prøv derefter med f.eks. dobbelt så store K & L og undersøg om Q vokser med samme faktor. (Virker også med Cobb-Douglas)
Vi prøver først at sætte 1 ind på K og L’s plads i produktionsfunktionen:
Derefter sætter vi 4 ind på begges plads, hvilket er en fremskrivningsfaktor på 4 (her vælger vi 4, fordi vi skal opløfte i 0,5, hvilket er det samme som kvadratrod, og det derfor er nemmest med nogle tal der passer):
Her kan vi se at både inputs og output er blevet 4-doblet, derfor er der konstant skalaafkast.
MikroKogeBogen © - Skalaafkast - Mikroøkonomi