Mikroøkonomi - 2.12 Lagrange metoden
Denne opskrift lærer dig, hvordan du beregner en forbrugers optimale forbrugsvalg ved hjælp af Lagrange metoden
Løsning af optimalt forbrugsvalg ved hjælp af Lagrange metoden er i sig selv kun nødvendig, hvis du bliver bedt om det. Ellers er det en metode, som er en brobygger til sværere opgaver. Derfor kan den virke overflødig for nogen (dem der ikke skal lave de efterfølgende opgaver), mens den er essentiel for andre.
Gennemgang inkl. regneeksempel
John køber vingummi (x) og chokolade (y) til en hyggelig aften. Vingummi koster 2kr./stk og chokolade 6kr./stk.
Johns nyttefunktion af vingummi og chokolade er
John har 100kr. til snold.
Spørgsmål a) Hvor mange stykker vingummi skal John have pr. stk chokolade?
Spørgsmål b) Hvor meget vingummi og chokolade køber John?
Trin 1: Opsæt lagrange funktionen: L=U(x,y)+λ∙ (M-Px∙X-Py∙Y)
Vi kender nyttefunktionen:
Priserne:
Samt budgettet: M = 100.
Alt dette anvendes til at opstille Lagrange funktionen:
For at lave differentieringerne i Trin 2, kan det være givende at gange den store parentes ud således:
Løsningen kort fortalt
Trin 1:
Opsæt lagrange funktionen: L=U(x,y)+λ∙ (M-Px∙X-Py∙Y)
Trin 2:
Opsæt tre funktioner ved at differentiere i forhold til henholdsvis x, y og λ. Sæt hver funktion lig med 0
Trin 3:
Isoler λ i de to første funktioner (lagrange funktionen differentieret i forhold til henholdsvis x og y) og sæt dem lig hinanden
Trin 4:
Isoler enten x eller y. Dette giver det optimale forhold mellem x & y
Trin 5:
Indsæt udtrykket i den tredje funktion (lagrange funktionen differentieret i forhold til λ) og løs ligningen for at beregne x (eller y)
Trin 6:
Sæt resultatet fra Trin 5 ind i funktionen fra Trin 4 for at finde den anden variabel
Trin 2: Opsæt tre funktioner ved at differentiere i forhold til henholdsvis x, y og λ. Sæt hver funktion lig med 0
Vi kalder de tre funktioner 1, 2 og 3. Vi beregner dem og sætter dem alle lig med nul:
Funktion 1: Vi differentierer i forhold til x:
Bemærk at de to led λ∙100 og λ∙6∙y ikke inkluderer x og bliver til nul ved differentiering. Vi reducerer og sætter udtrykket lig med nul:
Funktion 2: Vi differentierer i forhold til y:
Denne gang forsvinder de to led λ∙100 og λ∙2∙x. Vi reducerer og sætter udtrykket lig med nul:
Funktion 3: Vi differentierer i forhold til λ:
Det første led forsvinder, mens λ differentieret bliver lig med 1 (når der trækkes 1 fra i potensen bliver potensen lig med nul. Alle tal der er opløftet i nul, bliver lig med 1). Vi får derfor:
Vi reducerer og sætter udtrykket lig med nul:
Trin 3: Isoler λ i de to første funktioner (lagrange funktionen differentieret i forhold til henholdsvis x og y) og sæt dem lig hinanden
For funktion 1 får vi:
For funktion 2 får vi:
Vi sætter de to funktioner lig med hinanden:
Trin 4: Isoler enten x eller y. Dette giver det optimale forhold mellem x & y
Her isolerer vi x i udtrykket fra Trin 3:
Derfor er det optimale forhold 2 stykker vingummi (x) til et styk chokolade (y), hvilket er svaret på spørgsmål a)
Trin 5: Indsæt udtrykket i den tredje funktion (lagrange funktionen differentieret i forhold til λ) og løs ligningen for at beregne x (eller y)
Vi indsætter udtrykket for x i funktion 3 og beregner y:
Trin 6: Sæt resultatet fra Trin 5 ind i funktionen fra Trin 4 for at finde den anden variabel
Y-værdien indsættes i funktionen for x fra Trin 5:
Det optimale forbrugsvalg bliver således x=20 og y=10. John køber altså 20 stykker vingummi og 10 stykker chokolade, hvilket er svaret på spørgsmål b).
Hvis vi tjekker om dette passer med vores optimale forhold fra Trin 4, kan vi se at det er korrekt (dobbelt så mange x som y).
MikroKogeBogen © - Lagrange metoden - Mikroøkonomi