Mikroøkonomi - 3.2 Optimal kombination af input – Imperfekte Substitutter
Denne opskrift lærer dig, hvordan du finder den kombination af kapital og arbejdskraft (K og L) som maksimerer output ved givne omkostninger (eller minimerer omkostninger ved et givet output), når de to input er imperfekte substitutter.
Inden du anvender denne opskrift, anbefaler vi at du arbejder med Opskrift 3.1 Marginalprodukter og MRTS, da den gennemgår i detaljer, hvordan MRTS beregnes og reduceres inklusiv huskereglen, der gælder, når produktionsfunktionens er en Cobb-Douglas funktion.
Du genkender imperfekte substitutter ved produktionsfunktionen. Oftest vil den se sådan ud:
Den kan også være:
hvor a & b ≠1, men det er meget sjældent.
Gennemgang inkl. regneeksempel
Adam’s Knappenålefabrik producerer knappenåle med en kombination af arbejdskraft og maskiner. Han underbetaler sine ansatte så de får 2kr./time mens de samlede omkostninger for at holde maskiner kørende er 6kr./time. Det output der produceres kan beskrives med produktionsfunktionen:
Adam holder sine omkostninger på 100kr. om dagen.
Spørgsmål a) Hvor mange arbejds- og maskintimer vil optimere den daglige produktion?
Spørgsmål b) Hvor mange knappenåle produceres dagligt?
Trin 1: Udregn MRTS = - MPL/MPK og MRT = - w/r. Brug evt. huskereglen MRTS= - αK/βL hvis produktionsfunktionen er en Cobb-Douglas funktion
For at finde MRTS skal vi lave partiel differentiering for at finde marginalprodukterne. Først differentierer vi produktionsfunktionen i forhold til L, dvs. vi behandler L som den variable og K som en konstant. Bemærk at dette betyder at differentieringsregnereglerne for konstanter nu gælder for K:
Løsningen kort fortalt
Trin 1:
Udregn MRTS = - MPL/MPK og MRT = - w/r. Brug evt. huskereglen MRTS= - αK/βL hvis produktionsfunktionen er en Cobb-Douglas funktion
Trin 2:
Sæt MRTS=MRT og isolér enten L eller K. Dette giver dig det optimale forhold mellem de to input
Trin 3:
Indsæt forholdet i omkostningsfunktionen ved at substituere L eller K
Trin 4:
Udregn L ved at indsætte K i optimalt forhold eller K ved at indsætte L
Herefter differentierer vi i forhold til K, dvs. nu behandler vi L som en konstant:
Marginalprodukterne indsættes nu i formlen for MRTS og brøken reduceres (se evt. Opskrift 3.1 Marginalprodukter og MRTS for at lære hvordan MRTS beregnes og reduceres):
Produktionsfunktionen er en Cobb-Douglas funktion da den er på formen:
Vi kan derfor tjekke vores resultat med en simpel huskeregel:
Vi har nu dobbelttjekket, om vi har regnet rigtigt. Det kan være en fordel at gøre, hvis MRTS bliver en brøk, der er vanskelig at reducere.
Til sidst indsættes priserne for L og K i formlen for MRT for at beregne denne:
Trin 2: Sæt MRTS=MRT og isolér enten L eller K. Dette giver dig det optimale forhold mellem de to input
MRTS sættes lig med MRT:
Vi isolerer i dette tilfælde L (bemærk at da der er ét minus på begge sider, kan vi fjerne det):
Dette er det optimale forhold, men husk at hvis du skal beskrive dette, så hedder forholdet, at man skal have 2L til hver K (hvis du sætter et ettal ind på Ks plads, står der L=2). Dvs. to arbejdstimer til en maskintime. Det er altså omvendt af, hvad der måske virker logisk. Når du får din endelige løsning i trin 4, giver det mere mening.
Trin 3: Indsæt forholdet i omkostningsfunktionen ved at substituere L eller K
Omkostninger og priser indsættes i formlen for omkostningsfunktionen:
Da det var L, som vi isolerede i Trin 2, er det netop L vi substituerer (udskifter). Vi indsætter 2K på L’ets plads, da det var det optimale forhold, og isolerer K:
Trin 4: Udregn L ved at indsætte K i optimalt forhold eller K ved at indsætte L
Da vi nu har K, indsættes det i det optimale forhold fra trin 2 for at finde L:
Svaret på spørgsmål a) bliver derfor, at det optimale valg af input er L=20 og K=10 – dvs. at der på en dag på fabrikken udføres 20 arbejdstimer og 10 maskintimer.
Hvis vi bliver spurgt om, hvor stort et output der så er ved disse input, er det bare at sætte dem ind i vores produktionsfunktion. Dermed får vi:
Altså er svaret på spørgsmål b) at der produceres 800.000 knappenåle om dagen
MikroKogeBogen © - Optimal kombination af produktionsinput - Mikroøkonomi